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===== Funciones de información =====

==== Función de información de un ítem ====

Cada vez que se plantea un ítem a un alumno se obtiene información sobre su conocimiento. En la teoría de respuesta al ítem la información que se obtiene depende del ítem que se elija y del nivel de conocimiento del alumno. En los test adaptativo hay distintas formas de seleccionar el siguiente ítem a plantear dependiendo del nivel de conocimiento estimado $\hat{\theta}$ del alumno. Una de los posibles criterios de selección se basa en construir una función que permita saber qué ítem dará la máxima información.

La función de información de un ítem $i$ se define como: $$I_i(\theta) = \frac{1}{\sigma_i^2(\hat\theta|\theta)}$$  

En el caso de que se utilice el modelo de tres parámetros (3PL) la curva característica del ítem $P(\theta)$ sería:
$$P_i(\theta) = c_1 + (1-c_i)\frac{1}{1-e^{Da_i(\theta-b_i)}}$$, por lo que derivando y simplificando se obtiene la función: $$I_i(\theta) = D_i^2 a_i^2 \frac{(P_i-c_i)^2}{(1-c_i)^2}\frac{(1-P_i(\theta))}{P_i(\theta)}$$

En el caso de utilizar los modelos de uno o dos parámetros, la fórmula se simplifica ya que $c_i=0$: $$I_i(\theta) = D_i^2 a_i^2 P_i(\theta)(1-P_i(\theta))$$

La función de información se corresponde en cierta forma con la calidad del ítem para cada posible valor de $\theta$ y tiene un máximo cercano al valor de la dificultad, es decir para $\theta=b_i$. 





==== Función de información del test ====

La función de información del test tiene un papel similar a la fiabilidad en la teoría cláscia de test. A diferencia de la fiabilidad, se trata de una función, es decir tiene un valor diferente para cada nivel de conocimientos $\theta$. Por otra parte, la función de información puede tomar cualquier valor mayor que cero.

La función de información de un test se define como la suma de las funciones de información de cada uno de los $N$ ítems del test: $$I(\theta) = \sum_{i=0}^N (I(\theta_i))$$.